Bùi Tuần sinh ngày 24 tháng 6 năm 1928 tại Cam Lai, nay thuộc xã Đông Cơ, huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình.[1] Ngày sinh trên chỉ là ngày sinh trên giấy tờ, trên thực tế, ông sinh ngày 21 tháng 1 năm 1927.[5] Cha ông là ông Gioan Baotixita Bùi Tuyển và mẹ là bà Maria Vũ Thị Tần và ngoài ông thì ông bà còn có người con làm linh mục khác là linh mục Gioan Baotixita Bùi Châu Thi.[6]

Tuổi thơ ông sống trong nghèo khó, ông kể về thời thơ ấu của mình: “Quê tôi ở Thái Bình. Gia đình gốc nông dân nghèo lắm. Bố đi ở, mẹ đi ở. Bố không đủ tiền nộp thuế bị trói đánh ngoài đình. Thuở nhỏ tôi đã trải qua cảnh cơn bão lớn, nước dâng lên cao, mẹ ôm tôi trên mái nhà nhai gạo sống cho con ăn. Đã có lần tôi thấy lính đi đốt làng, bắt người kẹp chân lên băng ghế, dùng búa đập. Nỗi đau thương của đất nước nó vào thành vết thương đời mình”.[2]

Trong lễ cải táng cha mẹ, ông cũng chia sẻ cảm xúc của mình đối với họ:Tôi nhớ Mẹ tôi ! Tôi nhớ Bố Mẹ tôi nhiều lắm ! Bố tôi hay khuyên tôi hãy tin tưởng vào Thánh Giu-se và hãy lo cho những người nghèo. Mẹ tôi thường nhắc cho tôi là hãy nhớ Chúa trước mặt. Đừng quá lo cho gia đình nhưng hãy dùng sức lực lo cho ích chung của Hội Thánh. Những lời khuyên dậy đó vẫn dẫn dắt tôi cho đến bây giờ.”[6]